[解決済み] バックトラックアルゴリズムの時間計算方法は？

質問

これらのバックトラックアルゴリズムの時間計算量はどのように計算するのでしょうか？異なる場合はどのように計算するのでしょうか？詳しく教えてください。

1. Hamiltonian cycle:

        bool hamCycleUtil(bool graph[V][V], int path[], int pos) {
            /* base case: If all vertices are included in Hamiltonian Cycle */
            if (pos == V) {
                // And if there is an edge from the last included vertex to the
                // first vertex
                if ( graph[ path[pos-1] ][ path[0] ] == 1 )
                    return true;
                else
                    return false;
            }

            // Try different vertices as a next candidate in Hamiltonian Cycle.
            // We don't try for 0 as we included 0 as starting point in in hamCycle()
            for (int v = 1; v < V; v++) {
                /* Check if this vertex can be added to Hamiltonian Cycle */
                if (isSafe(v, graph, path, pos)) {
                    path[pos] = v;

                    /* recur to construct rest of the path */
                    if (hamCycleUtil (graph, path, pos+1) == true)
                        return true;

                    /* If adding vertex v doesn't lead to a solution, then remove it */
                    path[pos] = -1;
                }
            }

            /* If no vertex can be added to Hamiltonian Cycle constructed so far, then return false */
            return false;
        }

2. Word break:

       a. bool wordBreak(string str) {
            int size = str.size();

            // Base case
            if (size == 0)
                return true;

            // Try all prefixes of lengths from 1 to size
            for (int i=1; i<=size; i++) {
                // The parameter for dictionaryContains is str.substr(0, i)
                // str.substr(0, i) which is prefix (of input string) of
                // length 'i'. We first check whether current prefix is in
                // dictionary. Then we recursively check for remaining string
                // str.substr(i, size-i) which is suffix of length size-i
                if (dictionaryContains( str.substr(0, i) ) && wordBreak( str.substr(i, size-i) ))
                    return true;
            }

            // If we have tried all prefixes and none of them worked
            return false;
        }
    b. String SegmentString(String input, Set<String> dict) {
           if (dict.contains(input)) return input;
           int len = input.length();
           for (int i = 1; i < len; i++) {
               String prefix = input.substring(0, i);
               if (dict.contains(prefix)) {
                   String suffix = input.substring(i, len);
                   String segSuffix = SegmentString(suffix, dict);
                   if (segSuffix != null) {
                       return prefix + " " + segSuffix;
                   }
               }
           }
           return null;
      }


3. N Queens:

        bool solveNQUtil(int board[N][N], int col) {
            /* base case: If all queens are placed then return true */
            if (col >= N)
                return true;

            /* Consider this column and try placing this queen in all rows one by one */
            for (int i = 0; i < N; i++) {
                /* Check if queen can be placed on board[i][col] */
                if ( isSafe(board, i, col) ) {
                    /* Place this queen in board[i][col] */
                    board[i][col] = 1;

                    /* recur to place rest of the queens */
                    if ( solveNQUtil(board, col + 1) == true )
                        return true;

                    /* If placing queen in board[i][col] doesn't lead to a solution then remove queen from board[i][col] */
                    board[i][col] = 0; // BACKTRACK
                }
            }
        }

実は少し混乱しているのですが、Word Break(b)の場合、複雑さはO(2) ⁿ しかし、ハミルトンサイクルの場合、同じ文字列の異なる並べ替えを印刷する場合と、n クイーン問題を解く場合とでは、異なる結果になります。

どのように解くのですか？

要するに

1. ハミルトンサイクル: O(N!) 最悪の場合
2. WordBreak と StringSegment 。 O(2^N)
3. NQueens : O(N!)

注：WordBreakについては、O(N^2)の動的計画法がある。

詳細はこちら

1. ハミルトンサイクルでは、各再帰呼び出しにおいて、最悪の場合、残りの頂点のうちの1つが選択される。この場合の再帰は、n個のネストされたループと考えることができ、各ループで反復回数が1回ずつ減少する。したがって、時間の複雑さは次式で与えられる。

   T(N) = N*(T(N-1) + O(1))
T(N) = N*(N-1)*(N-2).. = O(N!)

2. NQueensでも同様に、毎回分岐係数は1以上減少しますが、それほど大きくは減少しないため、上限は O(N!)

3. WordBreakの場合はもっと複雑ですが、おおよその見当をつけることができます。WordBreakでは、文字列の各文字は、最悪の場合、前の単語の最後の文字になるか、新しい単語の最初の文字になるかの2つの選択肢があります。 したがって、WordBreak &; SegmentStringの両方において T(N) = O(2^N)