[解決済み】与えられた和になるように数字の組み合わせの可能性を探す

質問

与えられたセットから追加される可能性のあるすべての組み合わせをテストするにはどうしたらよいでしょうか？ N を足すと、ある最終的な数字になりますか？

簡単な例です。

• 加算する数値のセット。 N = {1,5,22,15,0,...}
• 希望する結果 12345

解決方法は？

この問題は、すべての可能な和を再帰的に組み合わせて、目標に達する和をフィルタリングすることで解決することができる。以下はPythonによるアルゴリズムである。

def subset_sum(numbers, target, partial=[]):
    s = sum(partial)

    # check if the partial sum is equals to target
    if s == target: 
        print "sum(%s)=%s" % (partial, target)
    if s >= target:
        return  # if we reach the number why bother to continue
    
    for i in range(len(numbers)):
        n = numbers[i]
        remaining = numbers[i+1:]
        subset_sum(remaining, target, partial + [n]) 
   

if __name__ == "__main__":
    subset_sum([3,9,8,4,5,7,10],15)

    #Outputs:
    #sum([3, 8, 4])=15
    #sum([3, 5, 7])=15
    #sum([8, 7])=15
    #sum([5, 10])=15

この種のアルゴリズムは、次のように非常によく説明されています。 スタンフォード大学の抽象プログラミングの講義 - このビデオは、再帰がどのように解の並べ替えを生成するのかを理解するのに非常にお薦めです。

編集

上記をジェネレータ関数として、もう少し便利にしてみました。Python 3.3+ が必要なのは yield from .

def subset_sum(numbers, target, partial=[], partial_sum=0):
    if partial_sum == target:
        yield partial
    if partial_sum >= target:
        return
    for i, n in enumerate(numbers):
        remaining = numbers[i + 1:]
        yield from subset_sum(remaining, target, partial + [n], partial_sum + n)

以下は、同じアルゴリズムのJava版です。

package tmp;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;

class SumSet {
    static void sum_up_recursive(ArrayList<Integer> numbers, int target, ArrayList<Integer> partial) {
       int s = 0;
       for (int x: partial) s += x;
       if (s == target)
            System.out.println("sum("+Arrays.toString(partial.toArray())+")="+target);
       if (s >= target)
            return;
       for(int i=0;i<numbers.size();i++) {
             ArrayList<Integer> remaining = new ArrayList<Integer>();
             int n = numbers.get(i);
             for (int j=i+1; j<numbers.size();j++) remaining.add(numbers.get(j));
             ArrayList<Integer> partial_rec = new ArrayList<Integer>(partial);
             partial_rec.add(n);
             sum_up_recursive(remaining,target,partial_rec);
       }
    }
    static void sum_up(ArrayList<Integer> numbers, int target) {
        sum_up_recursive(numbers,target,new ArrayList<Integer>());
    }
    public static void main(String args[]) {
        Integer[] numbers = {3,9,8,4,5,7,10};
        int target = 15;
        sum_up(new ArrayList<Integer>(Arrays.asList(numbers)),target);
    }
}

全く同じヒューリスティックです。私のJavaは少し錆びついていますが、理解しやすいと思います。

JavaソリューションのC#変換。 (@JeremyThompson) さんによるものです。

public static void Main(string[] args)
{
    List<int> numbers = new List<int>() { 3, 9, 8, 4, 5, 7, 10 };
    int target = 15;
    sum_up(numbers, target);
}

private static void sum_up(List<int> numbers, int target)
{
    sum_up_recursive(numbers, target, new List<int>());
}

private static void sum_up_recursive(List<int> numbers, int target, List<int> partial)
{
    int s = 0;
    foreach (int x in partial) s += x;

    if (s == target)
        Console.WriteLine("sum(" + string.Join(",", partial.ToArray()) + ")=" + target);

    if (s >= target)
        return;

    for (int i = 0; i < numbers.Count; i++)
    {
        List<int> remaining = new List<int>();
        int n = numbers[i];
        for (int j = i + 1; j < numbers.Count; j++) remaining.Add(numbers[j]);

        List<int> partial_rec = new List<int>(partial);
        partial_rec.Add(n);
        sum_up_recursive(remaining, target, partial_rec);
    }
}

Rubyのソリューションです。 (@emailleninさん)

def subset_sum(numbers, target, partial=[])
  s = partial.inject 0, :+
# check if the partial sum is equals to target

  puts "sum(#{partial})=#{target}" if s == target

  return if s >= target # if we reach the number why bother to continue

  (0..(numbers.length - 1)).each do |i|
    n = numbers[i]
    remaining = numbers.drop(i+1)
    subset_sum(remaining, target, partial + [n])
  end
end

subset_sum([3,9,8,4,5,7,10],15)

編集：複雑性の議論

他の方もおっしゃっていますが、これは NP困難問題 . これは指数時間O(2^n)で解くことができ、例えばn=10の場合、1024通りの解が存在することになります。もし、到達しようとする目標が低い範囲であれば、このアルゴリズムはうまくいきます。つまり、例えば

subset_sum([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10],100000) は 1024 本の枝を生成します。これは、ターゲットが可能な解決策をフィルタリングすることがないためです。

一方 subset_sum([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10],10) は 175 本の枝しか生成しません。 10 は、多くの組み合わせをフィルタリングするようになります。

もし N と Target が大きな数字である場合は、近似解に移行する必要があります。