なぜフィボナッチ数はコンピュータサイエンスにおいて重要なのか？

疑問点

フィボナッチ数 は、コンピュータサイエンスを学ぶ学生にとって再帰性の入門書として人気があり、自然界にも存在するという強い主張があります。これらの理由から、私たちの多くがフィボナッチ数に親しんでいます。

また、コンピュータサイエンスの他の分野にも存在し、シーケンスに基づく驚くほど効率的なデータ構造とアルゴリズムがあります。

思い浮かぶ主な例は2つあります。

• フィボナッチ・ヒープ これは 二項ヒープよりも実行時間の短縮が可能です。 ヒープよりも実行時間が短くなります。
• フィボナッチ探索 これは O(log N)の実行時間を共有する である。

これらの数には、他の数列よりも有利な特別な性質があるのでしょうか？それは空間的な性質なのでしょうか? 他にどのような応用が考えられるでしょうか。

他の再帰的な問題で出てくる自然数列はたくさんあるので、不思議な感じがします。 カタロニア語 のヒープは見たことがありません。

どのように解決するのですか？

フィボナッチ数は、コンピュータサイエンスに最適な数学的特性を持っています。 ここではそのいくつかを紹介します。

1. 指数関数的に速く成長する。 フィボナッチ級数が出てくる興味深いデータ構造の1つに、自己平衡2分木の一種であるAVL木があります。 この木の背後にある直感は、左と右のサブツリーの高さが最大でも 1 だけ異なるように、各ノードがバランス要素を維持することです。 このことから、高さhのAVL木を得るために必要な最小ノード数は、N(h + 2) ~= N(h) + N(h + 1)のような漸化式で定義されると考えることができ、フィボナッチ級数によく似ている。 フィボナッチ級数は指数関数的に増加するので、AVLツリーの高さはノード数の対数倍となり、バランス2分木でおなじみのルックアップ時間 O(lg n)を実現します。 実際、フィボナッチ数で構造体の大きさを制限できれば、何らかの操作でO(lg n)の実行時間を得られる可能性が高いのです。 これがフィボナッチヒープと呼ばれる本当の理由です。dequeue min後のヒープ数がフィボナッチ数で特定の深さに持てるノード数を束縛することを含んでいるという証明です。
2. 任意の数は、一意のフィボナッチ数の合計として書くことができます。 フィボナッチ数のこの特性は、フィボナッチ探索を機能させるために重要です。もし、ユニークなフィボナッチ数を任意の数に足し合わせることができなければ、この探索は機能しないでしょう。 これと対照的なのが、他の多くの系列、例えば 3 ⁿ やカタルーニャ数列のような他の多くの系列とは対照的です。 これは、多くのアルゴリズムが2の累乗を好む理由の一部でもあると思います。
3. フィボナッチ数は効率的に計算可能です。 級数が非常に効率的に生成できるという事実 (最初の n 項を O(n) で、または任意の項を O(lg n) で得ることができます)、それからそれらを使用するアルゴリズムの多くは実用的ではないでしょう。 カタラン数の生成は、計算上かなり厄介です。 さらに、フィボナッチ数には、任意の2つの連続したフィボナッチ数、例えばF(k)とF(k + 1)を与えると、2つの値を足したり（F(k) + F(k + 1) = F(k + 2)）引いたりして、次または前のフィボナッチ数を簡単に計算できる素晴らしい特性があります（F(k + 1) - F(k) = F(k - 1))． この性質を利用して、いくつかのアルゴリズムでは、性質(2)と組み合わせて、数字をフィボナッチ数の和に分解することが行われている。 たとえば、フィボナッチ探索はこれを使用してメモリ内の値を見つけ、同様のアルゴリズムは対数の計算を迅速かつ効率的に行うために使用できます。
4. 教育的に有用である。 再帰を教えるのは難しいですが、フィボナッチ級数はそれを紹介する素晴らしい方法です。 フィボナッチ級数を紹介するときに、まっすぐな再帰について、メモ化について、または動的プログラミングについて話すことができます。 さらに、驚くべきことに フィボナッチ数の閉形式 は、帰納法や無限級数の解析の練習としてよく教えられますが、それに関連する フィボナッチ数の行列式 は、線形代数で固有ベクトルや固有値の動機付けとしてよく紹介されます。 入門クラスで知名度が高いのは、このような理由もあると思います。

これ以外にも理由はあると思いますが、これらの理由のいくつかが主な要因であることは間違いないと思います。 お役に立てれば幸いです。