[解決済み] 整数の平方根が整数であるかどうかを判断する最速の方法

質問

を判断する最速の方法を探しています。 long の値が完全平方である (平方根が別の整数である) こと。

1. 私は、簡単な方法として、内蔵の Math.sqrt() という関数があるのですが、もっと高速に行う方法はないでしょうか？ 整数型ドメインに限定しています。
2. ルックアップテーブルを維持することは非現実的です。 2 ^31.5 2乗が2より小さい整数 ⁶³ ).

以下は、私が今やっている非常にシンプルでわかりやすい方法です。

public final static boolean isPerfectSquare(long n)
{
  if (n < 0)
    return false;

  long tst = (long)(Math.sqrt(n) + 0.5);
  return tst*tst == n;
}

<サブ 注：この関数は、多くの プロジェクト・オイラー の問題を解決することができます。 だから、他の誰もこのコードをメンテナンスする必要はないんだ。 このような微細な最適化は、実際に違いを生み出すかもしれません。なぜなら、すべてのアルゴリズムを1分以内に行うことが課題の一部であり、問題によってはこの関数を何百万回も呼び出す必要があるからです。

いろいろな解決策を試しましたが、どうでしょうか？

• 徹底的に検証した結果、以下のように 0.5 をMath.sqrt()の結果に加えることは、少なくとも私のマシンでは必要ない。
• は 高速逆平方根 の方が高速ですが、n >= 410881の場合は誤った結果が得られました。 しかし BobbyShaftoe n < 410881の場合、FISRハックを使うことができます。
• ニュートン法は、それなりに遅くても Math.sqrt() . これはおそらく Math.sqrt() は、ニュートンの方法に似たものを使っていますが、ハードウェアで実装されているので、Javaよりずっと高速です。 また、Newton's Methodではまだdoubleを使用する必要がありました。
• 修正したニュートンの方法は、整数計算だけが行われるようにいくつかのトリックを使いましたが、オーバーフローを避けるためにいくつかのハックが必要で（この関数はすべての正の64ビット符号付き整数で動作させたい）、それでもなお Math.sqrt() .
• バイナリーチョップはさらに遅かった。 バイナリーチョップは64ビット数の平方根を求めるのに平均して16回のパスを必要とするので、これは理にかなっています。
• Johnのテストによると or ステートメントを使用するよりも、C++の方が高速です。 switch との差はないようですが、JavaやC#では or と switch .
• ルックアップテーブルも作ってみました（64個のブーリアン値のプライベート静的配列として）。 すると、switch の代わりに、あるいは or ステートメントを使用すると、次のようになります。 if(lookup[(int)(n&0x3F)]) { test } else return false; . 驚いたことに、この方が（ほんの少し）遅かったのです。これは 配列の境界はJavaでチェックされます .

解決方法は？

私は、少なくとも私のCPU（x86）とプログラミング言語（C/C++）で、あなたの6bits+Carmack+sqrtコードより〜35％速く動作する方法を考え出した。 特にJavaのファクターがどうなるか分からないので、結果は異なるかもしれません。

私のアプローチは3つあります。

1. まず、明らかな答えを除外する。 これには負数や最後の4ビットを見ることが含まれます。 (最後の6ビットを見ても意味がないことがわかりました。)また、0に対しても「はい」と答えます。(以下のコードを読むにあたって、私の入力が int64 x .)

   if( x < 0 || (x&2) || ((x & 7) == 5) || ((x & 11) == 8) )
       return false;
   if( x == 0 )
       return true;
   

2. 次に、255=3 * 5 * 17のモジュロで正方形かどうかをチェックします。 これは3つの素数の積なので、255の剰余のうち約1/8だけが正方形になります。 しかし、私の経験では、モジュロ演算子（%）を呼び出すと、得られる利益よりもコストがかかるので、255 = 2^8-1を含むビットトリックを使って残差を計算しています。 (良くも悪くも、私はワードから個々のバイトを読み出すというトリックは使っておらず、ビット単位のアンドとシフトのみです)。

   int64 y = x;
   y = (y & 4294967295LL) + (y >> 32); 
   y = (y & 65535) + (y >> 16);
   y = (y & 255) + ((y >> 8) & 255) + (y >> 16);
   // At this point, y is between 0 and 511.  More code can reduce it farther.
   
   

   実際に残基が正方形かどうかを確認するために、あらかじめ計算されたテーブルで答えを調べます。

   if( bad255[y] )
       return false;
   // However, I just use a table of size 512
   
   

3. 最後に、次のような方法で平方根を計算してみてください。 ヘンゼルのレンマ . (直接は適用できないと思いますが、少し修正すればうまくいきます)。 その前に、2の累乗をすべて二項探索で割り出す。

   if((x & 4294967295LL) == 0)
       x >>= 32;
   if((x & 65535) == 0)
       x >>= 16;
   if((x & 255) == 0)
       x >>= 8;
   if((x & 15) == 0)
       x >>= 4;
   if((x & 3) == 0)
       x >>= 2;
   

   この時点で、この数が正方形であるためには、1のmod 8でなければならない。

   if((x & 7) != 1)
       return false;
   

   ヘンゼルのレンマの基本構造は以下の通りである。 (注意：未検証のコード。うまくいかない場合は、t=2や8を試してみてください)

   int64 t = 4, r = 1;
   t <<= 1; r += ((x - r * r) & t) >> 1;
   t <<= 1; r += ((x - r * r) & t) >> 1;
   t <<= 1; r += ((x - r * r) & t) >> 1;
   // Repeat until t is 2^33 or so.  Use a loop if you want.
   

   このアイデアは、各反復において、x の平方根である r に1ビットを追加し、各平方根はより大きな2の累乗、すなわち t/2 に対して正確であるということです。 最後に、rとt/2-rはt/2のxの平方根になります（rがxの平方根であれば、-rも平方根であることに注意してください）。 これは数の変調でも正しいのですが、ある数の変調では、物事は2以上の平方根を持つことがあるので、注意してください。） 実際の平方根は2^32より小さいので、この時点では、rまたはt/2-rが本当の平方根かどうかをチェックすればよいのです。 実際のコードでは、次のようにループを修正して使っています。

   int64 r, t, z;
   r = start[(x >> 3) & 1023];
   do {
       z = x - r * r;
       if( z == 0 )
           return true;
       if( z < 0 )
           return false;
       t = z & (-z);
       r += (z & t) >> 1;
       if( r > (t >> 1) )
           r = t - r;
   } while( t <= (1LL << 33) );
   

   この高速化は、事前に計算された開始値（ループの〜10回の繰り返しに相当）、ループの早期終了、いくつかのt値のスキップの3つの方法で得られています。 最後の部分については z = r - x * x とし、tはビットトリックでzを割った2の最大累乗としました。 これによって、rの値に影響を与えないようなtの値をスキップすることができる。 私の場合、事前に計算された開始値は、8192モジュールの最小の正の平方根を選び出します。

このコードが速く動作しなくても、このコードに含まれるアイデアのいくつかを楽しんでいただければと思います。 以下は、計算済みのテーブルを含む、完全なテスト済みのコードです。

typedef signed long long int int64;

int start[1024] =
{1,3,1769,5,1937,1741,7,1451,479,157,9,91,945,659,1817,11,
1983,707,1321,1211,1071,13,1479,405,415,1501,1609,741,15,339,1703,203,
129,1411,873,1669,17,1715,1145,1835,351,1251,887,1573,975,19,1127,395,
1855,1981,425,453,1105,653,327,21,287,93,713,1691,1935,301,551,587,
257,1277,23,763,1903,1075,1799,1877,223,1437,1783,859,1201,621,25,779,
1727,573,471,1979,815,1293,825,363,159,1315,183,27,241,941,601,971,
385,131,919,901,273,435,647,1493,95,29,1417,805,719,1261,1177,1163,
1599,835,1367,315,1361,1933,1977,747,31,1373,1079,1637,1679,1581,1753,1355,
513,1539,1815,1531,1647,205,505,1109,33,1379,521,1627,1457,1901,1767,1547,
1471,1853,1833,1349,559,1523,967,1131,97,35,1975,795,497,1875,1191,1739,
641,1149,1385,133,529,845,1657,725,161,1309,375,37,463,1555,615,1931,
1343,445,937,1083,1617,883,185,1515,225,1443,1225,869,1423,1235,39,1973,
769,259,489,1797,1391,1485,1287,341,289,99,1271,1701,1713,915,537,1781,
1215,963,41,581,303,243,1337,1899,353,1245,329,1563,753,595,1113,1589,
897,1667,407,635,785,1971,135,43,417,1507,1929,731,207,275,1689,1397,
1087,1725,855,1851,1873,397,1607,1813,481,163,567,101,1167,45,1831,1205,
1025,1021,1303,1029,1135,1331,1017,427,545,1181,1033,933,1969,365,1255,1013,
959,317,1751,187,47,1037,455,1429,609,1571,1463,1765,1009,685,679,821,
1153,387,1897,1403,1041,691,1927,811,673,227,137,1499,49,1005,103,629,
831,1091,1449,1477,1967,1677,697,1045,737,1117,1737,667,911,1325,473,437,
1281,1795,1001,261,879,51,775,1195,801,1635,759,165,1871,1645,1049,245,
703,1597,553,955,209,1779,1849,661,865,291,841,997,1265,1965,1625,53,
1409,893,105,1925,1297,589,377,1579,929,1053,1655,1829,305,1811,1895,139,
575,189,343,709,1711,1139,1095,277,993,1699,55,1435,655,1491,1319,331,
1537,515,791,507,623,1229,1529,1963,1057,355,1545,603,1615,1171,743,523,
447,1219,1239,1723,465,499,57,107,1121,989,951,229,1521,851,167,715,
1665,1923,1687,1157,1553,1869,1415,1749,1185,1763,649,1061,561,531,409,907,
319,1469,1961,59,1455,141,1209,491,1249,419,1847,1893,399,211,985,1099,
1793,765,1513,1275,367,1587,263,1365,1313,925,247,1371,1359,109,1561,1291,
191,61,1065,1605,721,781,1735,875,1377,1827,1353,539,1777,429,1959,1483,
1921,643,617,389,1809,947,889,981,1441,483,1143,293,817,749,1383,1675,
63,1347,169,827,1199,1421,583,1259,1505,861,457,1125,143,1069,807,1867,
2047,2045,279,2043,111,307,2041,597,1569,1891,2039,1957,1103,1389,231,2037,
65,1341,727,837,977,2035,569,1643,1633,547,439,1307,2033,1709,345,1845,
1919,637,1175,379,2031,333,903,213,1697,797,1161,475,1073,2029,921,1653,
193,67,1623,1595,943,1395,1721,2027,1761,1955,1335,357,113,1747,1497,1461,
1791,771,2025,1285,145,973,249,171,1825,611,265,1189,847,1427,2023,1269,
321,1475,1577,69,1233,755,1223,1685,1889,733,1865,2021,1807,1107,1447,1077,
1663,1917,1129,1147,1775,1613,1401,555,1953,2019,631,1243,1329,787,871,885,
449,1213,681,1733,687,115,71,1301,2017,675,969,411,369,467,295,693,
1535,509,233,517,401,1843,1543,939,2015,669,1527,421,591,147,281,501,
577,195,215,699,1489,525,1081,917,1951,2013,73,1253,1551,173,857,309,
1407,899,663,1915,1519,1203,391,1323,1887,739,1673,2011,1585,493,1433,117,
705,1603,1111,965,431,1165,1863,533,1823,605,823,1179,625,813,2009,75,
1279,1789,1559,251,657,563,761,1707,1759,1949,777,347,335,1133,1511,267,
833,1085,2007,1467,1745,1805,711,149,1695,803,1719,485,1295,1453,935,459,
1151,381,1641,1413,1263,77,1913,2005,1631,541,119,1317,1841,1773,359,651,
961,323,1193,197,175,1651,441,235,1567,1885,1481,1947,881,2003,217,843,
1023,1027,745,1019,913,717,1031,1621,1503,867,1015,1115,79,1683,793,1035,
1089,1731,297,1861,2001,1011,1593,619,1439,477,585,283,1039,1363,1369,1227,
895,1661,151,645,1007,1357,121,1237,1375,1821,1911,549,1999,1043,1945,1419,
1217,957,599,571,81,371,1351,1003,1311,931,311,1381,1137,723,1575,1611,
767,253,1047,1787,1169,1997,1273,853,1247,413,1289,1883,177,403,999,1803,
1345,451,1495,1093,1839,269,199,1387,1183,1757,1207,1051,783,83,423,1995,
639,1155,1943,123,751,1459,1671,469,1119,995,393,219,1743,237,153,1909,
1473,1859,1705,1339,337,909,953,1771,1055,349,1993,613,1393,557,729,1717,
511,1533,1257,1541,1425,819,519,85,991,1693,503,1445,433,877,1305,1525,
1601,829,809,325,1583,1549,1991,1941,927,1059,1097,1819,527,1197,1881,1333,
383,125,361,891,495,179,633,299,863,285,1399,987,1487,1517,1639,1141,
1729,579,87,1989,593,1907,839,1557,799,1629,201,155,1649,1837,1063,949,
255,1283,535,773,1681,461,1785,683,735,1123,1801,677,689,1939,487,757,
1857,1987,983,443,1327,1267,313,1173,671,221,695,1509,271,1619,89,565,
127,1405,1431,1659,239,1101,1159,1067,607,1565,905,1755,1231,1299,665,373,
1985,701,1879,1221,849,627,1465,789,543,1187,1591,923,1905,979,1241,181};

bool bad255[512] =
{0,0,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,
 1,1,0,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,0,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,
 0,1,0,1,1,0,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,
 1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,1,1,
 1,1,1,1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,1,0,1,1,0,1,1,1,1,1,
 1,1,1,1,1,1,0,1,1,0,1,0,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,0,1,1,
 1,1,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,1,1,1,
 1,0,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,
 0,0,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,
 1,1,0,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,0,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,
 0,1,0,1,1,0,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,
 1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,1,1,
 1,1,1,1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,1,0,1,1,0,1,1,1,1,1,
 1,1,1,1,1,1,0,1,1,0,1,0,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,0,1,1,
 1,1,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,1,1,1,
 1,0,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,
 0,0};

inline bool square( int64 x ) {
    // Quickfail
    if( x < 0 || (x&2) || ((x & 7) == 5) || ((x & 11) == 8) )
        return false;
    if( x == 0 )
        return true;

    // Check mod 255 = 3 * 5 * 17, for fun
    int64 y = x;
    y = (y & 4294967295LL) + (y >> 32);
    y = (y & 65535) + (y >> 16);
    y = (y & 255) + ((y >> 8) & 255) + (y >> 16);
    if( bad255[y] )
        return false;

    // Divide out powers of 4 using binary search
    if((x & 4294967295LL) == 0)
        x >>= 32;
    if((x & 65535) == 0)
        x >>= 16;
    if((x & 255) == 0)
        x >>= 8;
    if((x & 15) == 0)
        x >>= 4;
    if((x & 3) == 0)
        x >>= 2;

    if((x & 7) != 1)
        return false;

    // Compute sqrt using something like Hensel's lemma
    int64 r, t, z;
    r = start[(x >> 3) & 1023];
    do {
        z = x - r * r;
        if( z == 0 )
            return true;
        if( z < 0 )
            return false;
        t = z & (-z);
        r += (z & t) >> 1;
        if( r > (t  >> 1) )
            r = t - r;
    } while( t <= (1LL << 33) );

    return false;
}